屋子里，徐云正在侃侃而谈：
“牛顿先生，韩立爵士计算发现，二项式定理中指数为分数时，可以用e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! …… x^n/n! ……来计算。”
说着徐云拿起笔，在纸上写下了一行字：
当n=0时，e^x＞1。
“牛顿先生，这里是从x^0开始的，用0作为起点讨论比较方便，您可以理解吧？”
小牛点了点头，示意自己明白。
随后徐云继续写道：
假设当n=k时结论成立，即e^x＞1 x/1! x^2/2! x^3/3! …… x^k/k!（x＞0）
则e^x-[1 x/1! x^2/2! x^3/3! …… x^k/k!]＞0
那么当n=k 1时，令函数f(k 1)=e^x-[1 x/1! x^2/2! x^3/3! …… x^(k 1)/(k 1)]!（x＞0）
接着徐云在f(k 1)上画了个圈，问道：
“牛顿先生，您对导数有了解么？”
小牛继续点了点头，言简意赅的蹦出两个字：
“了解。”
学过数学的朋友应该都知道。
导数和积分是微积分最重要的组成部分，而导数又是微分积分的基础。
眼下已经时值1665年末，小牛对于导数的认知其实已经到了一个比较深奥的地步了。
在求导方面，小牛的介入点是瞬时速度。
速度=路程/时间，这是小学生都知道的公式，但瞬时速度怎么办?
比如说知道路程s=t^2，那么t=2的时候，瞬时速度v是多少呢?
数学家的思维，就是将没学过的问题转化成学过的问题。
于是牛顿想了一个很聪明的办法：
取一个”很短”的时间段△t ，先算算t= 2到t=2 △t 这个时间段内，平均速度是多少。
v=s/t=（4△t △t^2）/△t=4 △t。
当△t 越来越小，2 △t就越来越接近2 ，时间段就越来越窄。
△t 越来越接近0时，那么平均速度就越来越接近瞬时速度。
如果△t小到了0 ，平均速度4 △t就变成了瞬时速度4。
当然了。
后来贝克莱发现了这个方法的一些逻辑问题，也就是△t到底是不是0。
如果是0，那么计算速度的时候怎么能用△t做分母呢？鲜为人...咳咳，小学生也知道0不能做除数。
到如果不是0，4 △t就永远变不成4，平均速度永远变不成瞬时速度。
按照现代微积分的观念，贝克莱是在质疑lim△t→0是否等价于△t=0。
这个问题的本质实际上是在对初生微积分的一种拷问，用“无限细分”这种运动、模糊的词语来定义精准的数学，真的合适吗？
贝克莱由此引发的一系列讨论，便是赫赫有名的第二次数学危机。
甚至有些悲观党宣称数理大厦要坍塌了，我们的世界都是虚假的——然后这些货真的就跳楼了，在奥地利还留有他们的遗像，某个扑街钓鱼佬曾经有幸参观过一次，跟七个小矮人似的，也不知道是用来被人瞻仰还是鞭尸的。
这件事一直到要柯西和魏尔斯特拉斯两人的出现，才会彻底有了解释与定论，并且真正定义了后世很多同学挂的那棵树。
但那是后来的事情，在小牛的这个年代，新生数学的实用性是放在首位的，因此严格化就相对被忽略了。
这个时代的很多人都是一边利用数学工具做研究，一边用得出来的结果对工具进行改良优化。
偶尔还会出现一些倒霉蛋算着算着，忽然发现自己这辈子的研究其实错了的情况。
总而言之。
在如今这个时间点，小牛对于求导还是比较熟悉的，只不过还没有归纳出系统的理论而已。
徐云见状又写到：
对f(k 1)求导，可得f(k 1)'=e^x-1 x/1! x^2/2! x^3/3! …… x^k/k!
由假设知f(k 1)'＞0
那么当x=0时。
f(k 1)=e^0-1-0/1!-0/2!-.-0/k 1!=1-1=0
所以当x＞0时。
因为导数大于0，所以f(x)＞f(0)=0
所以当n=k 1时f(k 1)=e^x-[1 x/1! x^2/2! x^3/3! …… x^(k 1)/(k 1)]!（x＞0）成立！
最后徐云写到：
综上所属，对任意的n有：
e^x＞1 x/1! x^2/2! x^3/3! …… x^n/n!（x＞0）
论述完毕，徐云放下钢笔，看向小牛。
只见此时此刻。
这位后世物理学的祖师爷正瞪大着那一双牛眼，死死地盯着面前的这张草稿纸。
诚然。
以目前小牛的研究进度，还不太好理解切线与面积的真正内在含义。
但了解数学的人都知道，广义二项式定理其实就是复变函数的泰勒级数的特殊情形。
这个级数与二项式定理是兼容的，系数符号也是与组合符号兼容的。
所以二项式定理可以由自然数幂扩充至复数幂，组合定义也可以由自然数扩充至复数。
只不过徐云在这里留了一手，没有告知小牛n为负数的时候就是无穷级数这件事。
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